第1問

三角形ABCの内心をIとする。角A,B,Cの内角の二等分線が対辺と交わる点をそれぞれA',B',C'とする。

1/4<AI\cdot BI\cdot CI/(AA'\cdot BB'\cdot CC')\le8/27

を証明せよ。

ステップ 4/4: 正の因子を展開して厳密な下界を得る

P=\left(\frac12+\frac{x}{p}\right)\left(\frac12+\frac{y}{p}\right)\left(\frac12+\frac{z}{p}\right)>\frac18+\frac{x+y+z}{4p}=\frac14

詳しい解説

代入すると表示の積を得る。展開すると定数項は1/8、一次項の和は(x+y+z)/(4p)、残りの項はすべて正である。p=2(x+y+z)だから最初の2項だけで1/4となり、しかも厳密に大きい。従って1/4<P≤8/27。