MathLabs

第5問

ABCを三角形、Xをその内部点とする。角XAB、XBC、XCAの少なくとも1つが30度以下であることを示せ。
ステップ 2/4: 積の恒等式と単調性を得る
前のステップ次のステップ
∏cycsin⁡(A−α)sin⁡α=1,fA(t)=sin⁡(A−t)sin⁡t=sin⁡Acot⁡t−cos⁡A\prod_{cyc}\frac{\sin(A-\alpha)}{\sin\alpha}=1,\qquad f_A(t)=\frac{\sin(A-t)}{\sin t}=\sin A\cot t-\cos A
詳しい解説

3つの距離恒等式を掛けてAX·BX·CXを消去すると、巡回積 sin(A−alpha)/sin(alpha) は1となる。Aを固定すればf_A(t)=sin(A−t)/sin(t)=sin(A)cot(t)−cos(A)は有効範囲で厳密減少する。