MathLabs

第5問

ABCを三角形、Xをその内部点とする。角XAB、XBC、XCAの少なくとも1つが30度以下であることを示せ。
ステップ 4/4: 3角不等式が仮定に矛盾する
前のステップ次のステップ
x=A−30∘, y=B−30∘, z=C−30∘,x+y+z=90∘,sin⁡xsin⁡ysin⁡z≤18x=A-30^\circ,\ y=B-30^\circ,\ z=C-30^\circ,\quad x+y+z=90^\circ,\quad \sin x\sin y\sin z\le\frac18
詳しい解説

x=A−30度、y=B−30度、z=C−30度と置けば和は90度。sin x sin y≤(1−cos(x+y))/2=(1−sin z)/2なので、積は(1−sin z)sin z/2以下、さらに1/8以下である。先の厳密不等式に矛盾し、alpha,beta,gammaの少なくとも1つは30度以下。