第1問

x_1,x_2,\ldots,x_n

を正の実数とし、

S=x_1+x_2+\cdots+x_n

とおく。

(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\le 1+S+\dfrac{S^2}{2!}+\dfrac{S^3}{3!}+\cdots+\dfrac{S^n}{n!}

を証明せよ。

ステップ 1/4: 基本対称和を導入する

e_k=\sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n}x_{i_1}\cdots x_{i_k},\qquad\prod_{i=1}^n(1+x_i)=\sum_{k=0}^n e_k

詳しい解説

$e_0=1$ とし、 $e_k$ を相異なる $k$ 変数の積の総和とする。各因子から $1$ または $x_i$ を選べば、積は $\prod(1+x_i)=e_0+e_1+\cdots+e_n$ と展開される。