第3問

平面上の3点

A_1,A_2,A_3

に対し、

A_4=A_1

、

A_5=A_2

とおく。

n=1,2,3

について、

B_n

を

A_nA_{n+1}

の中点、

C_n

を

A_nB_n

の中点とする。

D_n=A_nC_{n+1}\cap B_nA_{n+2}

、

E_n=A_nB_{n+1}\cap C_nA_{n+2}

とおく。三角形

D_1D_2D_3

の面積と三角形

E_1E_2E_3

の面積の比を求めよ。

ステップ 1/5: 重心と中線の比を用いる

G= A_1B_2\cap A_2B_3\cap A_3B_1,\qquad A_3G:GB_1=2:1

詳しい解説

$B_n$ は辺の中点なので $A_nB_{n+1}$ は中線であり、重心 $G$ で交わる。各中線上で重心は線分を $2:1$ に分ける。例えば $A_3B_1=21t$ なら $A_3G=14t$ 、 $GB_1=7t$ である。