MathLabs

第2問

平面上に997個の点が与えられている。任意の2点を結ぶ線分の中点を赤く塗る。赤い点が少なくとも1991個あることを証明し、赤い点がちょうど1991個になる特別な例を求めよ。
ステップ 3/4: 厳密な交錯を示す
mi<ni<mi+1(1≤i≤995).m_i<n_i<m_{i+1}\quad(1\le i\le995).
詳しい解説

両方の数列は狭義単調増加する。さらに、yi+1<yi+2y_{i+1}<y_{i+2}からmi<nim_i<n_i、yi<yi+1y_i<y_{i+1}からni<mi+1n_i<m_{i+1}が従う。したがって996個のmの値と995個のnの値はすべて異なる。