MathLabs

第1問

ABCDABCD を、すべての辺が等しく ∠ABC=60∘\angle ABC=60^\circ である四角形とする。DD を通り、DD 以外では四角形と交わらない直線を ℓ\ell とする。ℓ\ell と AB,BCAB,BC との交点をそれぞれ E,FE,F とし、M=CE∩AFM=CE\cap AF とおく。CA2=CM⋅CECA^2=CM\cdot CE を証明せよ。
ステップ 4/5: 相似を接線角の等式に変換する
前のステップ次のステップ
∠CAM=∠CAF=∠AEC\angle CAM=\angle CAF=\angle AEC
詳しい解説

MM は AFAF 上にあるので ∠CAM=∠CAF\angle CAM=\angle CAF である。相似 △EAC∼△ACF\triangle EAC\sim\triangle ACF から ∠CAF=∠AEC\angle CAF=\angle AEC を得る。したがって ∠CAM=∠AEC\angle CAM=\angle AEC であり、これは AMEAME の外接円で弦 AMAM に対する円周角である。