MathLabs

第4問

xn+(2+x)n+(2−x)n=0x^n+(2+x)^n+(2-x)^n=0 が整数解をもつような正整数 nn をすべて求めよ。
ステップ 1/6: 偶数の指数を除外する
前のステップ次のステップ
n even⟹xn+(2+x)n+(2−x)n>0n\text{ even}\Longrightarrow x^n+(2+x)^n+(2-x)^n>0
詳しい解説

nn が偶数なら、xnx^n、(2+x)n(2+x)^n、(2−x)n(2-x)^n はすべて非負である。3つが同時に0になることはないので、和は正である。したがって可能な nn は奇数でなければならない。