MathLabs

第4問

平面上に、どの3点も一直線上に並ばず、任意の2点間の距離が有理数である無限集合は存在するか。
ステップ 2/4: 必要な正弦がすべて有理数であることを示す
前のステップ次のステップ
sin⁡((k+1)θ)+sin⁡((k−1)θ)=2sin⁡(kθ)cos⁡θ\sin((k+1)\theta)+\sin((k-1)\theta)=2\sin(k\theta)\cos\theta
詳しい解説

この漸化式と有理な初期値 sin⁡(0)=0\sin(0)=0、sin⁡θ=4/5\sin\theta=4/5 から、帰納法によりすべての整数 kk について sin⁡(kθ)\sin(k\theta) は有理数となる。