第5問

リスト

A

は整数

k\ge1

に対する十進数

10^k

からなる。リスト

B

と

C

はそれぞれ、これらの数を

2

進法と

5

進法で表したものからなる。任意の整数

n>1

に対し、

B

と

C

のちょうど一方に、ちょうど

n

桁の数がちょうど1つあることを証明せよ。

ステップ 1/4: 二進法の桁数を数える

2^{b_k-1}\le10^k<2^{b_k}\Longrightarrow b_k=\lfloor k\log_2 10\rfloor+1

詳しい解説

$b_k$ を $10^k$ の二進法での桁数とすると、 $2^{b_k-1}\le10^k<2^{b_k}$ である。対数を取れば $b_k=\lfloor k\log_2 10\rfloor+1$ となる。