第5問

|x-y|\in\{5,7,12\}

ならば常に

f(x)\ne f(y)

となる関数

f:\mathbb Z\to\{1,2,\dots,k\}

が存在するような最小の正整数

k

を求めよ。

ステップ 4/5: 3色仮定から2離れた値の一致を導く

前のステップ次のステップ

f(x-5),f(x),f(x+7)\text{ are pairwise distinct},\qquad f(x+2)=f(x)

詳しい解説

3色彩色が存在すると仮定する。3数 $x-5,x,x+7$ の相互の距離は $5,7,12$ なので、その色はすべて異なる。 $x+2$ は $x-5$ から距離7、 $x+7$ から距離5にあるため、その2色は使えず、 $f(x+2)=f(x)$ を得る。 $x-5,x+7,x+2$ $12,5,5$ $7$ $5$