MathLabs

第2問

ABCDABCD を一辺 aa の正方形とする。平面上の平行線 ℓ1\ell_1 と ℓ2\ell_2 は距離 aa だけ離れている。正方形を、ABAB と ADAD が ℓ1\ell_1 とそれぞれ EE と FF で交わり、CBCB と CDCD が ℓ2\ell_2 とそれぞれ GG と HH で交わるように置く。△AEF\triangle AEF と △CGH\triangle CGH の周長を m1m_1 と m2m_2 とするとき、置き方によらず m1+m2m_1+m_2 が一定であることを証明せよ。
ステップ 1/4: 共通する傍心を定める
前のステップ次のステップ
O=EH∩FGO=EH\cap FG
詳しい解説

O=EH∩FGO=EH\cap FG とおく。GG から直線 FDFD と EFEF までの距離はいずれも aa なので、FGFG は FF における対応する角の二等分線であり、同様に EHEH は EE での二等分線である。従って OO は △AEF\triangle AEF の傍心である。G,HG,H でも同じ議論により △CGH\triangle CGH の傍心でもある。