第2問

全ての正の整数が黄金比

\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}

の相異なる整数べきの有限和として表せることを証明せよ。ここで整数べきとは、

i

が正とは限らない整数である

\phi^i

をいう。

ステップ 1/5: 黄金比の恒等式を記す

\phi^2=\phi+1

詳しい解説

$\phi$ の定義する二次方程式から $\phi^2=\phi+1$ を得る。この恒等式により、指数 $i+1$ と $i$ の連続する係数1を指数 $i+2$ の係数1に置き換えられる。