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第5問

サーカスに nn 人の道化師がおり、12色の異なる色から選んで服装と化粧をする。各道化師は少なくとも5色を使う。団長は、同じ色の集合を使う道化師が2人おらず、どの1色も20人を超える道化師が使わないことを要求した。可能な nn の最大値を求めよ。
ステップ 5/6: 連続する5色を割り当てる
clown j:{cj,cj+1,cj+2,cj+3,cj+4}(1≤j≤48)\text{clown }j:\quad\{c_j,c_{j+1},c_{j+2},c_{j+3},c_{j+4}\}\quad(1\le j\le48)
詳しい解説

1≤j≤481\le j\le48 として、第 jj の道化師に5色 cj,cj+1,cj+2,cj+3,cj+4c_j,c_{j+1},c_{j+2},c_{j+3},c_{j+4} を与える。各人は5色を使う。明示した52項の列により48個の5要素集合は相異なり、各色はちょうど20回現れるので、n=48n=48 で全条件を満たす。