第2問

a_1,a_2,a_3,a_4,a_5

を実数とし、

k=1,2,3,4,5

に対して

\frac{a_1}{k^2+1}+\frac{a_2}{k^2+2}+\frac{a_3}{k^2+3}+\frac{a_4}{k^2+4}+\frac{a_5}{k^2+5}=\frac1{k^2}

を満たすとする。

\frac{a_1}{37}+\frac{a_2}{38}+\frac{a_3}{39}+\frac{a_4}{40}+\frac{a_5}{41}

の値を求めよ（1つの分数で表せ）。

ステップ 2/5: 分母を払う

P(x)=\prod_{j=1}^{5}(x^2+j),\quad Q(x)=R(x)P(x)

詳しい解説

P(x)=(x^2+1)…(x^2+5)、Q(x)=R(x)P(x) と置く。x=±k では Q(k)=P(k)/k^2 なので、P(x)−x^2Q(x) は ±1,±2,±3,±4,±5 で消える。