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第5問

Larry と Rob は1台の車を運転して Argovia から Zillis へ向かう2台のロボットである。両者は操舵を制御し、次の規則に従う。Larry は出発から ℓ\ell km 走るごとに90°左折し、Rob は rr km 走るごとに90°右折する。ただし ℓ\ell と rr は互いに素な正整数とする。両方の旋回が同時なら車は方向を変えずに進む。地面は平らで車は任意の方向に動けるとする。車は Argovia から Zillis に向いて出発する。Argovia からの距離に関係なく必ず Zillis に到達するのはどの組 (ℓ,r)(\ell,r) か。
ステップ 5/6: 剰余3の場合の変位を計算する
前のステップ次のステップ
∑k=0ℓr−1mk=∑a=0ℓ−1ia∑b=0r−1(−i)b=1(ℓ≡r≡3(mod4))\sum_{k=0}^{\ell r-1}m_k=\sum_{a=0}^{\ell-1}i^a\sum_{b=0}^{r-1}(-i)^b=1\quad(\ell\equiv r\equiv3\pmod4)
詳しい解説

ell≡r≡3 (mod 4) では、同じ中国剰余定理による分解で、一方の等比和は i、他方は −i となり、積はやはり1である。従って各区間の変位も東へちょうど1 km である。