第3問

正整数

m

と正整数からなる集合

S

が存在して、任意の整数

n>m

が

S

の相異なる要素の和としてちょうど

k

通りに書けるような、正整数

k

をすべて求めよ。

ステップ 4/5: S の構造

S=T\cup\{x,2x,4x,8x,\ldots\},\quad T\text{ finite}

詳しい解説

上の補題より、ある点を超えると $S$ は公比 $2$ の等比数列的な末尾からなる：有限集合 $T$ と正整数 $x$ を用いて $S=T\cup\{x,2x,4x,\ldots\}$ となる。