第3問

n

を正の整数とし、

a_1,a_2,\ldots,a_n

を正の実数とする。次を証明せよ。

\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2^i}\left(\frac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}\ge\frac{2}{1+a_1a_2\cdots a_n}-\frac{1}{2^n}.

ステップ 5/5: テレスコープして結論を得る

前のステップ次のステップ

\sum_{i=1}^nA_i(a_i)+\frac{1}{2^n}\ge A_0(a_1a_2\cdots a_n)

詳しい解説

前の段階の $n$ 個の不等式を足し合わせると、連続するレベル間で共有される項はすべて打ち消し合い、各左辺の第一項と最上位レベルの項 $A_n(1)=1/2^n$ だけが残る。これにより $\sum_{i=1}^nA_i(a_i)+\frac{1}{2^n}\ge A_0(a_1a_2\cdots a_n)$ を得るが、これはちょうど $\sum_{i=1}^n\frac{1}{2^i}\left(\frac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}\ge\frac{2}{1+a_1a_2\cdots a_n}-\frac{1}{2^n}$ であり、等号は $a_1=a_2=\cdots=a_n=1$ のときに限る。