MathLabs

第2問

不等式 4x2(1−1+2x)2<2x+9\dfrac{4x^2}{\left(1-\sqrt{1+2x}\right)^2} < 2x+9 が成り立つのはどのような実数 xx に対してか。
ステップ 1/5: 平方根と分母から来る定義域の制限
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

不等式そのものに取り掛かる前に、代入して意味をなす xx をまず正確に特定しておく——平方根と分母はそれぞれ実数直線の一部を禁止する。

1+2x≥0 and 1+2x≠11+2x\ge 0 \text{ and } \sqrt{1+2x}\neq 1
詳しい解説

平方根 1+2x\sqrt{1+2x} が実数となるのは 1+2x≥01+2x\ge0、すなわち x≥−12x\ge-\tfrac12 のときに限る。分母 (1−1+2x)2\left(1-\sqrt{1+2x}\right)^2 もゼロであってはならないので 1+2x≠1\sqrt{1+2x}\neq1、すなわち 1+2x≠11+2x\neq1、すなわち x≠0x\neq0 が必要である。これらはまさに左辺が定義される xx の値である。