MathLabs

第2問

不等式 4x2(1−1+2x)2<2x+9\dfrac{4x^2}{\left(1-\sqrt{1+2x}\right)^2} < 2x+9 が成り立つのはどのような実数 xx に対してか。
ステップ 5/5: x に戻して最終的な答えを述べる
−12≤x<458,x≠0-\dfrac12\le x<\dfrac{45}{8},\quad x\neq0
詳しい解説

写像 a↦x=a2−12a\mapsto x=\tfrac{a^2-1}{2} は a≥0a\ge0 で狭義増加であり、a=0↦x=−12a=0\mapsto x=-\tfrac12、a→72↦x→458a\to\tfrac72\mapsto x\to\tfrac{45}{8}、a=1↦x=0a=1\mapsto x=0 を対応させる。0≤a<720\le a<\tfrac72 と a≠1a\neq1 を合わせると、ちょうど −12≤x<458-\tfrac12\le x<\tfrac{45}{8}、x≠0x\neq0 が得られる。