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第7問

二等辺台形 ABCDABCD で AB∥DCAB\parallel DC、BC=ADBC=AD とする。AB=aAB=a、CD=cCD=c、AA から CDCD への垂直距離を hh とする。対称軸上のすべての点 XX で ∠BXC=∠AXD=90∘\angle BXC=\angle AXD=90^\circ となるものをすべて作図せよ。それぞれの XX について、ABAB および CDCD からの距離を求め、存在条件を述べよ。
ステップ 1/5: タレスの定理で直角条件を言い換える
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

対称性により2つの直角条件は、実は1つの円との交点条件にまとめられる。

∠BXC=90∘  ⟺  X lies on the circle with diameter BC\angle BXC=90^\circ\iff X\text{ lies on the circle with diameter }BC
詳しい解説

線分 BCBC を直角に見る点の軌跡は、直径が BCBC の円である。したがって、求める対称軸上の点 XX は、この円と軸の交点でなければならない。二等辺台形の対称性により、対称軸は A↔BA\leftrightarrow B および D↔CD\leftrightarrow C を入れ替えるので、そのような XX は ∠AXD=90∘\angle AXD=90^\circ も満たす。