第2問

面積が

S

の三角形の辺の長さを

a,b,c

とする。

a^2+b^2+c^2\ge4S\sqrt{3}

を証明せよ。等号はどのような場合に成り立つか。

ステップ 6/6: 二変数 AM–GM で終え、等号を調べる

\frac{A^2+B^2}{2}\ge AB,\quad\frac{B^2+C^2}{2}\ge BC,\quad\frac{C^2+A^2}{2}\ge CA

詳しい解説

三つを加えると $A^2+B^2+C^2\ge AB+BC+CA$ を得る。等号には $A=B=C$ が必要で、従って $a=b=c$ 、三角形は正三角形である。代入すれば等号が実際に成り立つ。