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第3問

nn を与えられた正の整数として、方程式 cos⁡nx−sin⁡nx=1\cos^n x-\sin^n x=1 を解け。
ステップ 1/6: nn 偶数の場合
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

偶数乗は非負なので、正弦の項を引くと余弦の項以下になる。

n even:cos⁡nx−sin⁡nx≤cos⁡nx≤1n\text{ even}:\quad \cos^n x-\sin^n x\le\cos^n x\le1
詳しい解説

nn 偶数では sin⁡nx≥0\sin^n x\ge0、∣cos⁡x∣≤1|\cos x|\le1 なので cos⁡nx−sin⁡nx≤1\cos^n x-\sin^n x\le1。等号には sin⁡nx=0\sin^n x=0 と cos⁡nx=1\cos^n x=1 が必要で、sin⁡x=0\sin x=0、∣cos⁡x∣=1|\cos x|=1 となる。