第7問

四面体

SABC

は、辺

SA,SB,SC,BC,CA,AB

またはその延長線のそれぞれすべてに接する球が5個存在するという性質をもつ。(a) 四面体

SABC

が正四面体であることを証明せよ。(b) 逆に、任意の正四面体にそのような5個の球が存在することを証明せよ。

ステップ 5/6: 同じ議論を4面すべてに適用する

AB=BC=CA,\quad AB=BS=AS,\quad AS=SC=AC,\quad SB=BC=SC

詳しい解説

面 $ABS$ 、 $ASC$ 、 $SBC$ に同じ構成を適用すると、それぞれ $AB=BS=AS$ 、 $AS=SC=AC$ 、 $SB=BC=SC$ を得る。よって4面すべてが正三角形であり、 $SABC$ は正四面体である。