MathLabs

第1問

実数 pp のどの値に対して方程式 x2−p+2x2−1=x\sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x は実数解をもつか。また、その解を求めよ。
ステップ 3/5: もう一度平方して解く
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二つの根号が x2x^2 の有理式にまとまる。

(2x2+p−4)2=4x2(x2−p)⟹x2=(p−4)216−8p(2x^2+p-4)^2=4x^2(x^2-p)\Longrightarrow x^2=\frac{(p-4)^2}{16-8p}
詳しい解説

前段の関係をさらに平方して整理すると (16−8p)x2=(p−4)2(16-8p)x^2=(p-4)^2。したがって解は x2=(p−4)2/(16−8p)x^2=(p-4)^2/(16-8p) を満たす。