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第5問

cos⁡π7−cos⁡2π7+cos⁡3π7=12\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}=\frac12 を証明せよ。
ステップ 2/5: 実部を取る
∑i=16ωi=−1⟹∑i=16Re⁡(ωi)=−1\sum_{i=1}^6\omega^i=-1\Longrightarrow\sum_{i=1}^6\operatorname{Re}(\omega^i)=-1
詳しい解説

根 11 を除くと ∑i=16ωi=−1\sum_{i=1}^6\omega^i=-1。実部を取り、Re⁡(cis⁡α)=cos⁡α\operatorname{Re}(\operatorname{cis}\alpha)=\cos\alpha を使うと、対応する余弦和は −1-1 になる。