MathLabs

第6問

四面体 ABCDABCD で、DD と △ABC\triangle ABC の重心 D0D_0 を結ぶ。A,B,CA,B,C を通り DD0DD_0 に平行な直線が、それぞれ平面 BCD,CAD,ABDBCD,CAD,ABD と交わる点を A1,B1,C1A_1,B_1,C_1 とする。ABCDABCD の体積が A1B1C1D0A_1B_1C_1D_0 の体積の3分の1であることを証明せよ。D0D_0 を △ABC\triangle ABC 内の任意の点に選んでも成り立つか。
ステップ 1/5: 重心を表す
前のステップ次のステップ
D0=A+B+C3D_0=\frac{A+B+C}{3}
4頂点と重心の作図を示す四面体。
ABCD と重心 D0 の位置関係を示す三次元四面体図。
詳しい解説

DD を原点とするアフィンベクトルを用いる。D0D_0 は重心なので、そのベクトルは (A+B+C)/3(A+B+C)/3 である。