第1問

区間

0 \le x \le 2\\pi

において、

2\\cos x \le |\\sqrt{1+\\sin 2x}-\\sqrt{1-\\sin 2x}| \le \\sqrt{2}

を満たすすべての

x

を求めよ。

ステップ 3/4: 余弦が非負の区間を調べる

前のステップ次のステップ

\\cos 2x\\ge0:\\quad x\\in[0,\\pi/4]\\cup[3\\pi/4,5\\pi/4]\\cup[7\\pi/4,2\\pi].

詳しい解説

ここでは第一不等式が $\\cos x\\le|\\sin x|$ となる。最初の区間では端点 $\\pi/4$ のみ、最後の区間では $7\\pi/4$ のみで成り立ち、中央の $[3\\pi/4,5\\pi/4]$ 全体で成り立つ。上側の $2|\\sin x|\\le\\sqrt2$ も中央区間全体で成り立つ。