MathLabs

第1問

区間 0≤x≤2pi0 \le x \le 2\\pi において、2cosx≤∣sqrt1+sin2x−sqrt1−sin2x∣≤sqrt22\\cos x \le |\\sqrt{1+\\sin 2x}-\\sqrt{1-\\sin 2x}| \le \\sqrt{2} を満たすすべての xx を求めよ。
ステップ 4/4: 余弦が負の区間を調べる
cos2x<0:quadxin(pi/4,3pi/4)cup(5pi/4,7pi/4),quad2∣cosx∣lesqrt2.\\cos 2x<0:\\quad x\\in(\\pi/4,3\\pi/4)\\cup(5\\pi/4,7\\pi/4),\\quad 2|\\cos x|\\le\\sqrt2.
詳しい解説

下側の不等式は cosxle∣cosx∣\\cos x\\le|\\cos x| なので自動的に成り立つ。両区間では ∣cosx∣<1/sqrt2|\\cos x|<1/\\sqrt2 だから上側も成り立つ。前の場合の中央区間と合わせて xin[pi/4,7pi/4]x\\in[\\pi/4,7\\pi/4] を得る。