MathLabs

第3問

四面体 ABCDABCD の向かい合う辺 ABAB と CDCD の長さをそれぞれ aa、bb とする。このねじれの位置にある二直線間の距離は dd、なす角は θ\theta である。ABAB と CDCD の両方に平行な平面が四面体 ABCD を二つの立体に分ける。この平面から ABAB、CDCD までの距離の比が kk であるとき、二立体の体積比を求めよ。
ステップ 1/5: 断面の共通比を求める
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

平行な断面はすべての辺に同じアフィン倍率を保つ。

AXXD=BYYD=BZZC=AWWC=k1,qquadAXAD=kk+1.\frac{AX}{XD}=\frac{BY}{YD}=\frac{BZ}{ZC}=\frac{AW}{WC}=\frac{k}{1},\\qquad \frac{AX}{AD}=\frac{k}{k+1}.
平行な平面の設定における四面体
二つの対辺に平行な平面を考える空間設定を示す、半透明の三次元四面体。
詳しい解説

平面が AD,BD,BC,ACAD,BD,BC,AC と交わる点を X,Y,Z,WX,Y,Z,W とする。二つの向かい合う辺に平行なので、横断線上の距離は線形に変化し、与えられた比から AX:XD=k:1AX:XD=k:1 となる。同じ比が対応する各辺にも現れる。