MathLabs

第2問

a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n を実定数、xx を実数とし、f(x)=cos⁡(a1+x)+12cos⁡(a2+x)+⋯+12n−1cos⁡(an+x)f(x)=\cos(a_1+x)+\frac12\cos(a_2+x)+\cdots+\frac1{2^{n-1}}\cos(a_n+x) と定める。f(x1)=f(x2)=0f(x_1)=f(x_2)=0 のとき、ある整数 mm に対して x2−x1=mπx_2-x_1=m\pi であることを証明せよ。
ステップ 1/4: 正弦と余弦の係数をまとめる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

すべての項は同じ周波数を持つため、位相は二つの係数だけを変え、周波数は変えない。

f(x)=Bcos⁡x−Csin⁡x,B=∑j=1n21−jcos⁡aj,C=∑j=1n21−jsin⁡ajf(x)=B\cos x-C\sin x,\quad B=\sum_{j=1}^n2^{1-j}\cos a_j,\quad C=\sum_{j=1}^n2^{1-j}\sin a_j
詳しい解説

各項に cos⁡(aj+x)=cos⁡ajcos⁡x−sin⁡ajsin⁡x\cos(a_j+x)=\cos a_j\cos x-\sin a_j\sin x を用いる。したがって和は f(x)=Bcos⁡x−Csin⁡xf(x)=B\cos x-C\sin x の形になり、B,CB,C は xx に依存しない。