第6問

実数

x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2

が

x_1>0

x_2>0

x_1y_1>z_1^2

x_2y_2>z_2^2

を満たすとき、

\frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\le\frac1{x_1y_1-z_1^2}+\frac1{x_2y_2-z_2^2}

を証明せよ。等号成立の必要十分条件を求めよ。

ステップ 1/8: 正の行列式を置く

a_i=x_iy_i-z_i^2>0\quad(i=1,2)

詳しい解説

$a_1=x_1y_1-z_1^2$ , $a_2=x_2y_2-z_2^2$ とおく。仮定より $a_1,a_2>0$ 。また $x_i>0$ と $x_iy_i>z_i^2\ge0$ より $y_1,y_2>0$ である。