MathLabs

第6問

実数 x1,x2,y1,y2,z1,z2x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2 が x1>0x_1>0, x2>0x_2>0, x1y1>z12x_1y_1>z_1^2, x2y2>z22x_2y_2>z_2^2 を満たすとき、8(x1+x2)(y1+y2)−(z1+z2)2≤1x1y1−z12+1x2y2−z22\frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\le\frac1{x_1y_1-z_1^2}+\frac1{x_2y_2-z_2^2} を証明せよ。等号成立の必要十分条件を求めよ。
ステップ 5/8: 交差評価を組み合わせる
前のステップ次のステップ
2a1a2≤x1y2+x2y1−2z1z22\sqrt{a_1a_2}\le x_1y_2+x_2y_1-2z_1z_2
詳しい解説

平方から得た評価を重み付きAM-GMの評価から引く。a1=x1y1−z12a_1=x_1y_1-z_1^2, a2=x2y2−z22a_2=x_2y_2-z_2^2 を用いると表示の交差項評価を得る。