MathLabs

第5問

半径1の円周上に、任意の2点間の距離がすべて有理数となるような 19751975 個の点を取れるかどうかを、証明付きで判定せよ。
ステップ 1/5: 良い角を選ぶ
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

単位円の弦は、θ\theta が円周角の半分なら長さ 2sin⁡θ2\sin\theta である。したがって正弦が有理数なら弦長も有理数になる。

sin⁡θ∈Q,cos⁡θ∈Q\sin\theta\in\mathbb Q,\quad \cos\theta\in\mathbb Q
単位円上の正弦・余弦が有理数となる角の弦
正弦と余弦が有理数となる角で定まる弦を示す単位円
詳しい解説

すべての原始ピタゴラス三つ組は単位円上の有理点 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta,\sin\theta) を与えるので、正弦と余弦がともに有理数となる角は無限にある。これを良い角と呼ぶ。