MathLabs

第4問

和が 19761976 となる正の整数の積として表される最大の数を、証明付きで求めよ。
ステップ 5/6: 33をできるだけ多く使う
ざっくり言うと

同じ和なら、22を3個使うより33を2個使う方が効率的である。これは、積が ee に近い因子で最大になるという直感の離散版である。

2+2+2=3+3,23=8<9=322+2+2=3+3,\quad 2^3=8<9=3^2
詳しい解説

22が3つ現れるたびに、それらを2つの 33 に置き換える。和は 66 のままだが、積は 23=82^3=8 から 32=93^2=9 へ増加する。したがって最適解に含まれる 22 は高々2個である。