MathLabs

第1問

正方形 ABCDABCD の内部に正三角形 ABKABK, BCLBCL, CDMCDM, DANDAN を作る。KL,LM,MN,NKKL,LM,MN,NK および AK,BK,BL,CL,CM,DM,DN,ANAK,BK,BL,CL,CM,DM,DN,AN の中点が正十二角形の12頂点であることを証明せよ。
ステップ 1/5: 1の4乗根を選ぶ
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ざっくり言うと

複素数の乗法により、必要な90度回転対称性が明確になる。

A=1,B=i,C=−1,D=−iA=1,\quad B=i,\quad C=-1,\quad D=-i
詳しい解説

相似変換により、正方形の中心を原点に置き、A=1A=1、B=iB=i、C=−1C=-1、D=−iD=-iとする。相似変換は中点の比と角度を保つ。