MathLabs

第1問

正方形 ABCDABCD の内部に正三角形 ABKABK, BCLBCL, CDMCDM, DANDAN を作る。KL,LM,MN,NKKL,LM,MN,NK および AK,BK,BL,CL,CM,DM,DN,ANAK,BK,BL,CL,CM,DM,DN,AN の中点が正十二角形の12頂点であることを証明せよ。
ステップ 3/5: 頂点間の中点
ざっくり言うと

4つの頂点と辺の中点は、すでに目的の円上にある小さな正方形を形成している。

MKL=k+l2,MLM=l+m2,MMN=m+n2,MNK=n+k2M_{KL}=\frac{k+l}{2}, M_{LM}=\frac{l+m}{2}, M_{MN}=\frac{m+n}{2}, M_{NK}=\frac{n+k}{2}
詳しい解説

代入すると、絶対値が3−12\frac{\sqrt{3}-1}{2}で、偏角が270∘,0∘,90∘,180∘270^\circ,0^\circ,90^\circ,180^\circである4点が得られる。