MathLabs

第1問

正方形 ABCDABCD の内部に正三角形 ABKABK, BCLBCL, CDMCDM, DANDAN を作る。KL,LM,MN,NKKL,LM,MN,NK および AK,BK,BL,CL,CM,DM,DN,ANAK,BK,BL,CL,CM,DM,DN,AN の中点が正十二角形の12頂点であることを証明せよ。
ステップ 4/5: 三角形の辺上の中点
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

代表的な2つの計算と回転対称性により、8つすべての辺の中点を説明できる。

∣1+k2∣=∣i+k2∣=3−12\left|\frac{1+k}{2}\right|=\left|\frac{i+k}{2}\right|=\frac{\sqrt{3}-1}{2}
詳しい解説

AKAK と BKBK の中点の偏角は −30∘-30^\circ と 120∘120^\circ となる。90∘90^\circ 回転により、残り6つの辺の中点は奇数倍の 30∘30^\circ の位置に得られる。