MathLabs

第1問

関数 f(n)f(n) は正の整数上で定義され、非負整数値をとる。f(2)=0f(2)=0、f(3)>0f(3)>0、f(9999)=3333f(9999)=3333 であり、任意の m,nm,n に対して f(m+n)−f(m)−f(n)=0 or 1.f(m+n)-f(m)-f(n)=0 \text{ or } 1. が成り立つ。f(1982)f(1982) を求めよ。
ステップ 5/7: f(1982)f(1982) を二つの候補に絞り込む
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

答えは連続する二つの整数の間に挟まれた。最後のステップでどちらか一方を排除しなければならない。

f(1982)−f(1980)−f(2)∈{0,1} ⇒ f(1982)∈{660,661}f(1982)-f(1980)-f(2)\in\{0,1\} \ \Rightarrow\ f(1982)\in\{660,661\}
詳しい解説

m=1980,n=2m=1980,n=2 として関数の条件を適用し、f(1980)=660f(1980)=660(ステップ4)と f(2)=0f(2)=0 を用いる。