MathLabs

第3問

正の実数からなる無限数列 {xn}\{x_n\} で、x0=1x_0=1 かつ x0≥x1≥x2≥⋯x_0\ge x_1\ge x_2\ge\cdots を満たすものを考える。(a) このような任意の数列について、ある n≥1n\ge1 が存在して Sn=x02x1+x12x2+⋯+xn−12xn≥3.999S_n=\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999 となることを証明せよ。(b) すべての nn に対して Sn<4S_n<4 となるそのような数列を一つ求めよ。
ステップ 4/4: (b) の数列を構成する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

公比 1/21/2 により各項は 2,1,1/2,…2,1,1/2,\ldots となり、44 に近づくが到達しない。

xi=2−i⟹Sn=2+1+12+⋯+22−n=4−22−n<4x_i=2^{-i}\quad\Longrightarrow\quad S_n=2+1+\frac12+\cdots+2^{2-n}=4-2^{2-n}<4
詳しい解説

この数列は正で単調非増加、x0=1x_0=1 を満たす。代入すると示された等比和となり、常に 44 未満である。