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第4問

19851985 個の相異なる正整数からなる集合 MM があり、そのどの数も 2323 より大きい素因子を持たないとする。MM には、積がある整数の 4 乗となる相異なる四元が存在することを証明せよ。
ステップ 4/4: 選んだ四数の積は 4 乗である
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

平方積二つの平方根も平方積になると、全体は 4 乗になる。組が互いに素なので元の四数は相異なる。

xpypxqyq=sp2sq2=(spsq)2=(u2)2=u4x_py_p x_qy_q=s_p^2s_q^2=(s_ps_q)^2=(u^2)^2=u^4
詳しい解説

二つの組は互いに素なので、xp,yp,xq,yqx_p,y_p,x_q,y_q は MM の相異なる四元である。その積は xpypxqyq=sp2sq2=(spsq)2=u4x_py_p x_qy_q=s_p^2s_q^2=(s_ps_q)^2=u^4、すなわち 4 乗である。これで証明された。