MathLabs

第4問

不等式 ∑k=170kx−k≥54\sum_{k=1}^{70}\frac{k}{x-k}\ge\frac{5}{4} の解集合が互いに素な区間の和であり、それらの長さの総和が 19881988 であることを示せ。
ステップ 2/4: 最後の区間を定める
前のステップ次のステップ
r70>70,f(r70)=54r_{70}>70,\qquad f(r_{70})=\frac{5}{4}
詳しい解説

x<1x<1 では全ての項が負なので不等式は成り立たない。(70,+∞)(70,+\infty) では ff は +∞+\infty から 00 へ減少するから、f(r70)=5/4f(r_{70})=5/4 を満たす一意な r70>70r_{70}>70 がある。したがって解集合は 1≤n≤701\le n\le70 に対する (n,rn](n,r_n] の互いに素な和である。