MathLabs

第5問

SS を −1-1 より大きいすべての実数の集合とする。すべての x,y∈Sx,y\in S に対して f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x) を満たし、さらに f(x)x\frac{f(x)}{x} が各区間 −1<x<0-1<x<0 と 0<x0<x で狭義単調増加する関数 f:S→Sf:S\to S をすべて求めよ。
ステップ 1/4: 不動点を伝播させる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

不動点を二つの変数に代入すると別の不動点が生じる。

f(a)=a⟹f(2a+a2)=2a+a2f(a)=a\Longrightarrow f(2a+a^2)=2a+a^2
詳しい解説

f(a)=af(a)=a として関数方程式に x=y=ax=y=a を代入する。すると b=2a+a2b=2a+a^2 も不動点であり f(b)=bf(b)=b。−1<a<0-1<a<0 なら −1<b<a-1<b<a、a>0a>0 なら b>ab>a である。