第6問

次の性質を持つ正整数集合

A

が存在することを示せ。任意の無限な素数集合

S

に対し、ある正整数

m\in A

と

n\notin A

が存在し、いずれもある

k

個の相異なる

S

の元の積で、

k\ge2

とする。

ステップ 4/4: A に属さない元を作る

ざっくり言うと

ブロックを一つずらすと長さは同じだが最小素因子が変わる。

n=s_2s_3\cdots s_{k+1}\notin A

詳しい解説

$n=s_2s_3\cdots s_{k+1}$ と取る。これは $k\ge2$ の相異なる $S$ 個の積だが、最小素因子は $s_2>s_1=k$ であり因子数は $k$ のまま。従って $n\notin A$ で、要求された性質が示された。