第4問

x_0=x_{1995}

を満たす正の実数列

x_0,x_1,\ldots,x_{1995}

が存在し、

i=1,\ldots,1995

で

x_{i-1}+\frac2{x_{i-1}}=2x_i+\frac1{x_i}

となるとき、

x_0

の最大値を求めよ。

ステップ 1/4: 漸化式を因数分解する

ざっくり言うと

各遷移には正の値が二つだけある。

x_i=1/x_{i-1}\text{ or }x_i=x_{i-1}/2

詳しい解説

$x_{i-1}$ を固定すると $x_i$ に関する二次方程式で、正の二解は $x_i=1/x_{i-1}$ と $x_i=x_{i-1}/2$ 。従って列は逆数 $I(x)=1/x$ と半分 $H(x)=x/2$ の語である。