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第1問

In plane, 点s を伴う整数 coordinates は頂点 のunit 平方s, colored alternately black およびwhite as 上のa chess盤. Fまたは正の整数 m,n m,n , consider a right 三角形 を伴う整数-coordinate 頂点 およびlegs の長さs m,n m,n along 平方 辺. とする。S1 S_1 be black 面積 およびS2 S_2 white 面積. Define f(m,n)=∣S1−S2∣ f(m,n)=|S_1-S_2| 翻訳：. (a) Calculate f(m,n) f(m,n) 翻訳： when m,n m,n はboth even またはboth odd. (b) 証明せよ f(m,n)≤max⁡(m,n)/2 f(m,n)\le\max(m,n)/2. (c) 証明せよ no 定数 C C 翻訳： satisfies f(m,n)<C f(m,n)<C すべての m,n m,n .
ステップ 1/3: 計算 equal-parity cases
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

計算 equal-parity cases

f(m,n)=0 or 1/2f(m,n)=0\text{ or }1/2
詳しい解説

Complete 三角形 へa rect角 およびrotate it により180∘180^\circ about mid点 のits hypotenuse. もし m,n m,n はeven, mid点 はa lattice 点 およびtwo halves have equal black およびwhite 面積s, so f(m,n)=0 f(m,n)=0. もし both はodd, mid点 は中心 のa unit 平方 およびrect角 has colまたはexcess 11, so 各half has excess 1/21/2.