第5問

すべての実数

x,y,z,t

に対して

(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)

を満たす関数

f:\mathbb R\to\mathbb R

をすべて求めよ。

ステップ 2/3: 乗法性を導く

ざっくり言うと

零を含む代入から乗法性と偶性が得られる。

f(xy)=f(x)f(y)

詳しい解説

非定数解では代入からが得られ、別の可能性は定数解を与える。さらにと乗法性を得る。ではなく、平方の式から（）およびを導く。 $f$ $f(-x)=f(x)$ $f(0)=0$ $f(1)=1$ $f(x)\ge0$ $x\ge0$