MathLabs

第5問

ABCDABCD を、BC=DABC = DA かつ BC∦DABC \nparallel DA を満たす固定された凸四角形とする。辺 BCBC、DADA 上にそれぞれ動点 EE、FF を、BE=DFBE = DF を満たすようにとる。直線 ACAC と BDBD の交点を PP、直線 BDBD と EFEF の交点を QQ、直線 EFEF と ACAC の交点を RR とする。EE、FF を動かしたときの三角形 PQRPQR の外接円が、PP 以外に共通の点を持つことを証明せよ。
ステップ 7/7: MM はすべての円 (PQR)(PQR) に共通する点である
前のステップ次のステップ
M∈(△PQR)M\in(\triangle PQR)
詳しい解説

MM は四直線 DA,EF,BD,ACDA,EF,BD,AC のミケル点なので、それらが定めるすべての三角形の外接円上にあり、特に直線 EF,BD,ACEF,BD,AC が切り取る三角形 (△PQR)(\triangle PQR) 上にもある。MM は固定点 A,B,C,D,PA,B,C,D,P（ステップ1）のみから定まるので、E,FE,F のどの有効な選び方に対しても同じ点であり、一般には PP とは異なる。これが求める共通の点である。