MathLabs

第5問

整数係数をもつ次数 n>1n>1 の多項式 P(x)P(x) と正の整数 kk をとる。PP が kk 回現れる合成 Q(x)=P(P(…P(x)…))Q(x)=P(P(\ldots P(x)\ldots)) を定める。Q(t)=tQ(t)=t を満たす整数 tt は高々 nn 個であることを証明せよ。
ステップ 4/8: 閉じた整数軌道は二値を交互にとる
P2(a)=aP^2(a)=a
詳しい解説

軌道中の最小値を選ぶ。すべての隣接差の大きさが同じ非零値で、軌道が出発点に戻るので、その最小値で差の符号は反転しなければならない。従って軌道は二整数 a,ba,b の間を交互に動き、P(a)=bP(a)=b、P(b)=aP(b)=a である。特に QQ の不動点はすべて P2(a)=aP^2(a)=a を満たす。