MathLabs

第6問

a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\ldots を正の実数からなる数列とする。ある正整数 ss に対して、すべての n>sn>s で an=max⁡{ak+an−k∣1≤k≤n−1}a_n=\max\{a_k+a_{n-k}\mid 1\le k\le n-1\} が成り立つと仮定する。ℓ≤s\ell\le s を満たす正整数 ℓ\ell と正整数 NN が存在して、すべての n≥Nn\ge N で an=aℓ+an−ℓa_n=a_\ell+a_{n-\ell} となることを証明せよ。
ステップ 9/9: 結論
前のステップ次のステップ
an=bn+qn=an−ℓ+qℓ=an−ℓ+aℓa_n=b_n+qn=a_{n-\ell}+q\ell=a_{n-\ell}+a_\ell
詳しい解説

最後に、十分大きいすべての nn で an=bn+qn=an−ℓ+qℓ=an−ℓ+aℓa_n=b_n+qn=a_{n-\ell}+q\ell=a_{n-\ell}+a_\ell となる。1≤ℓ≤s1\le\ell\le s なので、これは求める主張そのものである。